根据农历生肖和地理朝向因素，选择适宜的搬家吉日，在中国传统风俗中颇为重要。您的父亲属马、母亲属鸡、本人属狗，家宅大门朝东，期望在2024年1月选择一个搬家吉日。
选择搬家吉日应当结合农历、生肖以及日子的五行属性等因素综合考虑。2024年是癸巳蛇年，结合您家人的生肖，应避开与马、鸡、狗相冲或相害的日期。考虑到大门朝东，东方属木，宜选择与木相生的日子。
经过查阅农历及黄历资料，2024年1月中，适合您搬家的吉日有以下几个选择：
1. 初八（农历），这一天五行属性中偏木，又无与马、鸡、狗相冲的成分，宜搬家、开业等喜事。
2. 十三（农历），这一天亦属吉日，对生肖相匹配的属相有良好助力，适合搬迁新居。
3. 廿二（农历），此日也较为吉利，既符合生肖要求，也符合五行相生的原则。
考虑到是搬家的喜事，应选择一个较为顺利且有利于家庭和谐的日子。建议选择上述三个日期中的任意一天进行搬家。具体选择哪一天还需结合您个人的时间安排和实际情况来决定。
选择一个合适的搬家吉日是为了图个吉利和顺利，希望您和家人新居启程之日一切顺利、幸福美满。